Líneas y ángulos en SAT Math: preparación y repaso

feature_angles_architecture.jpgConocer sus líneas y ángulos es crucial para dominar SAT y es uno de los pasos fundamentales de la geometría. Antes de que pueda abordar algunos de los problemas de múltiples formas más complejos que a menudo aparecen hacia el final de la prueba, necesitará saber cómo resolver todas las medidas de los ángulos que faltan.

Casi sin falta, habrá exactamente dos problemas en cualquier SAT dado sobre líneas y ángulos (nota: estos problemas son distintos de las preguntas sobre líneas y pendientes). Aunque este es un pequeño porcentaje de la prueba en sí mismo, el conocimiento de líneas y ángulos proporciona la columna vertebral para otros problemas de geometría y, por lo tanto, debe ocupar un lugar destacado en sus prioridades de estudio.

Esta será su guía completa de líneas y ángulos en el SAT. —Qué son, cómo los verá en el examen y cómo resolver este tipo de preguntas para maximizar sus puntos el día del examen.



Propiedades de líneas y ángulos

Antes de entrar en cómo funcionan las líneas y los ángulos, tomemos un segundo para definir qué significan estos términos.

Una linea es un marcador completamente recto, lo que significa que no tiene curvatura. Puede tener puntos de terminación (y se llamará un 'segmento de línea') o continuar infinitamente. Su medida en grados es siempre $ 180 ° $.

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Lineas paralelas son dos o más líneas que están separadas por una distancia determinada (equidistantes) y nunca se encuentran. Viajan en la misma dirección continuamente.

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Lineas perpendiculares se encuentran en ángulos de 90 grados.

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Un angulo es el encuentro de dos líneas. La medida de cómo se encuentran se expresa en grados, y el punto en el que se cruzan se llama 'vértice' del ángulo.

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Igualdades de línea y ángulo

La mayor parte de lo que necesitará saber sobre las líneas y los ángulos en el SAT es cuándo y cómo serán iguales o complementarios entre sí.

Ángulos iguales (o líneas) son ángulos (o líneas) que tienen la misma medida.

Ángulos suplementarios son ángulos que suman 180 grados.

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Debido a que todos estos ángulos forman una línea recta y una línea recta equivale a 180 grados, los tres ángulos son suplementarios.

Ángulos opuestos

Cuando dos (o más) líneas se cruzan, forman una serie de ángulos opuestos. Los ángulos exactamente opuestos siempre serán iguales entre sí.

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Ahora veamos un problema de SAT de ángulo opuesto.

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Aquí, puede ver que las líneas $ l $ y $ k $ se cruzan de manera que la suma de los ángulos $ p $ y $ x $ forman un ángulo que es exactamente opuesto al ángulo $ m $.

Esto significa que, cuando sumamos los ángulos $ p $ y $ x $, su suma será igual al ángulo $ m $ (porque los ángulos opuestos son iguales).

+x=40$

$x=15$

Entonces nuestra respuesta final es A, 15.

Ángulos interiores opuestos

Cuando hay dos líneas paralelas que están cruzadas por otra línea (llamada transversal), los ángulos en interiores alternos serán iguales entre sí. Y los ángulos del mismo lado de la línea transversal y del mismo lado de sus respectivas líneas paralelas también serán iguales.

Eso puede ser difícil de imaginar, así que veamos un diagrama:

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(Nota: cuando se le dice que dos líneas son paralelas en la sección de matemáticas del SAT, el problema casi siempre involucrará ángulos interiores opuestos de alguna manera).

Ahora veamos un problema de SAT de ángulo interior opuesto.

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Se nos dice que las líneas lym son paralelas, lo que significa que las tres líneas verticales son transversales. Podemos ver que el ángulo del extremo izquierdo está marcado como 89 grados y es un ángulo interior opuesto al ángulo $ r $ solamente.

Esto significa que $ r = 89 $ grados, ya que los ángulos interiores opuestos son iguales.

Entonces nuestra respuesta final es A, $ r $.



Problemas típicos de líneas y ángulos

Casi todos los problemas de líneas y ángulos se le presentan como un problema de diagrama. Se le presentará una serie de datos y luego se le pedirá que encuentre un valor faltante de algún tipo. Casi siempre, esto requiere múltiples pasos y el uso de múltiples conocimientos de línea / ángulo. Por ejemplo:

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Este es un problema de línea y ángulo muy típico, así que analicémoslo.

Se nos dice que el ángulo $ f $ es de 85 grados. Esto significa que sabemos que el ángulo $ b $ también es de 85 grados porque es opuesto a $ f $ y los ángulos opuestos son iguales.

También se nos dice que $ c $ son 25 grados. Esto significa que $ g $ también debe ser de 25 grados porque es el ángulo opuesto $ c $.

Y finalmente, sabemos que una línea equivale a 180 grados. Esto significa que, para encontrar el ángulo $ a $, podemos decir:

$a+25+85=180$

$a+110=180$

$a=70$

Entonces nuestra respuesta final es C.

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Como dijimos antes, esta pregunta es representativa de la mayoría de los problemas de líneas y ángulos que verá en la prueba. Según sus datos, debe usar su conocimiento de ángulos opuestos (los ángulos opuestos son iguales) y su conocimiento de la medida en grados de una línea (una línea es 180 grados) para juntar todas las pistas y resolver su problema.

El otro tipo de problema de líneas y ángulos que puede ver involucrará triángulos. En estas preguntas, no solo debe reunir varios conocimientos sobre ángulos, sino también conocimientos sobre triángulos.

En general, no necesitará saber más que el hecho de que todos los ángulos interiores de un triángulo suman 180 grados, pero consulte nuestra guía de triángulos SAT si está oxidado en la geometría de su triángulo.

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Como se nos dice que las rectas lym son paralelas, podemos adivinar que nuestra respuesta probablemente tenga algo que ver con ángulos interiores opuestos. También sabemos que, para igualar 180 grados, nuestros ángulos deben completar un triángulo o una línea recta.

Con esas pistas en mente, repasemos nuestras opciones de respuesta.

La opción A nos da $ k $, $ n $ y $ r $. Sabemos por nuestros ángulos interiores opuestos que $ k $ y $ r $ son iguales, y que $ n $, $ s $ y $ t $ son iguales, pero esta información no nos ayuda a completar ni un triángulo ni una línea recta. Podemos eliminar la opción de respuesta A.

La opción de respuesta B nos da $ k $, $ p $ y $ s $. Nuevamente, a partir de nuestro conocimiento del ángulo interior opuesto, sabemos que $ k $ y $ r $ son iguales, y que $ n $, $ s $ y $ t $ son todos iguales.

Como $ s = n $, podemos formar un triángulo con nuestros ángulos dados. Y como $ s = t $, se da $ p $, y las igualdades de ángulos interiores opuestos significan que $ k $ es igual al ángulo desconocido en sentido antihorario por encima de $ t $, entonces nuestros valores conocidos también pueden formar una línea recta de 180 grados.

Ya sea que estén formando un triángulo o una línea recta, podemos encontrar 180 con los ángulos dados de $ k $, $ p $ y $ s $. Podemos detenernos aquí; encontramos nuestra solución.

Nuestra respuesta final es B.

Aquí puede ver que el eje para resolver el problema fue entender que los ángulos interiores opuestos son iguales. Y aunque también podría haber encontrado la medida requerida de 180 grados usando una línea recta (como hicimos arriba), fue más rápido usar el triángulo.

Tanto para facilitar la resolución de problemas como para saber cómo resolver los problemas de geometría más complejos, su conocimiento de líneas y ángulos definitivamente debe complementarse con el estudio de triángulos. ¡Así que no olvides repasar tus triángulos SAT!

body_combo_lock.jpg Echemos un vistazo a los consejos para desbloquear problemas de ángulo SAT.

Consejos para resolver un problema de línea y / o ángulo

Como vio en los ejemplos anteriores, la mayoría de los problemas de líneas y ángulos requieren que siga varios pasos antes de encontrar la respuesta correcta. Y la mayoría de las veces, debes resolver la pregunta pieza por pieza para desbloquear la solución final.

A medida que avanza en este proceso, tenga en cuenta estos tres consejos:

# 1: Escriba sus datos

Si le dan un diagrama en el que sus datos NO están escritos, ¡escríbalos usted mismo! A veces, ver los números en la página puede marcar la diferencia en el mundo entre un problema difícil y uno fácil.

También será mucho menos probable que mezcle sus números y variables si mantiene su trabajo en la página en lugar de en su cabeza.

# 2: Trabaja a partir de tus datos para encontrar la siguiente pieza del rompecabezas.

A veces, puede ser complicado saber dónde, cuándo o en qué orden resolver un problema. Tómese un momento para encontrar lo que pueda antes de preocuparse por cómo seguir adelante.

Si tienes ángulos opuestos, escribe la medida del ángulo opuesto que te dan. Si tienes ángulos que forman una línea recta, calcula el valor de la variable que falta. Encuentre inmediatamente las piezas faltantes que pueda, y esa información a menudo lo llevará directamente a su solución.

# 3: Si es necesario, use la conexión de respuestas o números

Si te encuentras atascado (o literalmente no hay otra forma de resolver el problema), saca tus conocimientos de PIA o PIN. A veces, el proceso puede ser más lento que una resolución directa, pero estas estrategias casi siempre lo llevarán a donde necesita ir y, por lo tanto, puede valer la pena los segundos adicionales.


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1.

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3.

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4.

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Respuestas: A, D, A, D

Explicaciones de respuesta:

1. Esta es una pregunta que no se puede resolver sin utilizar respuestas complementarias. Podemos ver que $ x $, $ y $, $ y $ y $ y $ forman una línea recta (que equivale a 180 grados). Expresemos eso como una ecuación.

$ x + 3y = 180 $

Ahora, no tenemos otra información (aparte de que $ x $ y $ y $ son ambos números enteros), del problema, por lo que ahora debemos buscar las respuestas.

Comencemos con las respuestas que terminan en 0, ya que es más fácil trabajar con ellas. Si estos no funcionan, podemos eliminarlos y probar las respuestas que terminan en 5.

Comencemos conectando nuestro valor medio, C, en lugar de $ x $.

Si $ x = 40 $, entonces:

$ 40 + 3 años = $ 180

$ 3y = 140 $

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$y=46.67$

140 no es divisible por 3 de manera uniforme, por lo que podemos eliminar la opción de respuesta C.

Intentemos ahora la opción de respuesta A, $ x = 30 $.

$ 30 + 3 años = $ 180

$ 3y = 150 $

$y=50$

Cuando $ x = 30 $, tanto $ x $ como $ y $ son números enteros. Esto cumple con nuestra premisa de pregunta y también lo es nuestra elección de respuesta correcta.

Nuestra respuesta final es A, $x=30$

2. Resolvamos esta pregunta encontrando los valores de todos los ángulos que podamos.

El ángulo $ a $ es opuesto al ángulo de 60 grados, por lo que el ángulo $ a = 60 $.

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También podemos ver que los ángulos $ a $ y $ b $ son suplementarios, ya que forman una línea recta. Esto significa que:

$ a + b = 180 $

+b=180$

$b=120$

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También podemos ver que el ángulo e es suplementario con el ángulo de 70 grados. Entonces:

$ y + 70 = $ 180

$ e = $ 110

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Ahora, solo necesitamos encontrar los ángulos $ c $ y $ d $. Por nuestro conocimiento de los triángulos, sabemos que los grados interiores de un triángulo suman 180 grados. Entonces el ángulo $ c $ debe ser:

$c+60+70=180$

$c=50$

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Y como $ c $ y $ d $ forman una línea recta y, por lo tanto, son suplementarios, podemos encontrar el ángulo $ d $ diciendo:

$ c + d = 180 $

$ 50 + d = 180 $

$ d = 130 $

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Lo que significa que de todas las medidas de grados que encontramos ($ a = 60 $, $ b = 120 $, $ c = 50 $, $ d = 130 $ y $ e = 110 $), el ángulo $ d $ es El más largo.

Nuestra respuesta final es D, $ d $.

3. Como se nos dice que las rectas $ 1 $ y $ m $ son paralelas, podemos suponer que este problema probablemente involucra ángulos interiores opuestos.

Como estamos familiarizados con nuestros ángulos opuestos y nuestros ángulos interiores opuestos, podemos ver que los ángulos $ s $, $ u $ y $ t $ son todos iguales.

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También podemos ver que los ángulos $ r $ y $ s $ son suplementarios, ya que forman una línea recta. Y si $ r = 91 $, entonces encontremos el ángulo $ s $:

$ r + s = 180 $

$ 91 + s = 180 $

$ s = 89 $

Ya dijimos que los ángulos $ s $, $ u $ y $ t $ son iguales, por lo que todos son iguales a 89 grados.

Para el paso final, debemos sumar $ t $ y $ u $. Entonces:

$ t + u $ => $ 89 + 89 = 178 $

Entonces nuestra respuesta final es A, 178.

4. En esta pregunta, estamos trabajando con múltiples variables. Afortunadamente, podemos encontrar nuestro valor para $ x $ y luego usarlo para encontrar nuestro valor $ y $.

Las medidas del ángulo $ 4x $ y $ 2x $ forman una línea recta, por lo que son complementarias. Esto significa que:

$ 4x + 2x = 180 $

$ 6x = 180 $

$x=30$

Ahora, podemos encontrar $ y $ usando nuestro valor $ x $ en una de dos formas, ya sea porque el ángulo $ y $ es opuesto (y por lo tanto igual) al ángulo $ 2x $ o porque el ángulo $ y $ forma una línea recta con $ 4x $ (y por lo tanto es complementario).

Entonces podemos decir que:

$y=2x$

$y=2(30)$

$y=60$

O podemos decir que:

$y+4x=180$

$y+4(30)=180$

$y+120=180$

$y=60$

De cualquier manera, nuestra respuesta es $ y = 60 $.

Entonces nuestra respuesta final es D.

body_thought.jpg ¡Whoo! Tu cerebro está en llamas (de una manera puramente metafórica y no letal, por supuesto).

Los para llevar

Las líneas y los ángulos suelen ser más simples de lo que cree. Lo complicado de este tipo de preguntas suele estar en la cantidad de pasos necesarios para llegar a la respuesta final.

¿Qué colores mezclados forman el marrón?

Solo recuerde sus igualdad, mantenga su trabajo organizado y haga todo lo posible para evitar errores por descuido. Una vez que haya bloqueado las líneas y los ángulos, estará bien equipado para enfrentar los problemas de geometría cada vez más complejos que el SAT puede plantearle.

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